Parmis les rectangles de périmètre 100cm quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale

Bonsoir,

Soit x et y les deux dimensions du rectangle.
Alors 2(x + y)=100  ==> x + y = 50
                            ==> y = 50 -x

L'aire du rectangle est donnée par : 

A(x) = x*y
       = x(50 - x)
       = 50x - x².
       = -x² + 50x
       = -(x² - 50x)

Or (x - 25)² = x² - 50x + 625 ===> x² - 50x = (x - 25)² - 625.

D'où : A(x) = -[(x - 25)² - 625]
         A(x) = -(x - 25)² + 625.

Cette expression est la forme canonique d'un trinôme du second degré admettant un maximum pour x = 25, ce maximum étant égal à 625.

Le rectangle aura une maire maximale si x = 25 cm et y = 50-25 = 25 cm.

Ce rectangle est donc un carré de côté égal à 25 cm..