Mathématiques

Question

Coucou, j'ai un exercice de math a faire pouvez vous m'aidez svvppp ?

Parmi tous les terrains rectangulaires de périmètre 120m. On se propose de trouver celui qui a la plus grande aire. Soit ABCD un rectangle de périmètre égal à 120m.

QUESTIONS/

1) Soit x la longueur AB. Exprimer la longueur BC en fonction de x.

2) A quel intervalle x appartient-il ?

3) On appelle f(x) l'aire du terrain ABCD. Exprimer f(x) en fonction de x. Montrer que f(x) = -x² + 60x.

4) En déduire les dimensions du terrain d'aire maximale.

MERCI D'AVANCE A TOUT CEUX QUI M'AIDE
Coucou, j'ai un exercice de math a faire pouvez vous m'aidez svvppp ? Parmi tous les terrains rectangulaires de périmètre 120m. On se propose de trouver celui q

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1 Réponse

  • 1. Dans le rectangle ABCD, on doit avoir 2*AB+2*BC = 120
    (puisque le périmètre du rectangle est constant égal à 120m)

    Du coup, si x est la longueur AB alors ça donne 2x + 2*BC = 120
    d'où, en isolant BC :   2*BC = 120 - 2x   c'est à dire   BC = 60 - x 

    2. Comme AB et BC sont des longueurs, on doit avoir à tout moment :
    AB et BC positives donc :
    AB > 0 entraine x > 0   et  BC > 0  entraine  60 - x > 0  et donc  x < 60.
    Ainsi, x appartient à l'intervalle [0 ; 60].

    3. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule  Longueur x largeur  ou, ici :
    AB x BC.
    C'est à dire   f(x) = x*(60 - x).
    En développant, on obtient bien : f(x) = 60x - x²  autrement dit  f(x)=-x² + 60x

    4.     C'est un polynôme de degré 2 (du type, f(x) = ax² + bx + c) représenté graphiquement par une parabole avec les branches orientées vers le bas (puisque a < 0) et atteignant son maximum en x = - b/(2a) = - 60 / (-2) = 30

    Ainsi, l'aire du rectangle est maximale si AB = BC = 30 m  (autrement dit ABCD est un carré de côté 30 m)

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