Sur le shéma ci-dessous, ABC est un triangle rectangle tel que : AB = 10cm ; AC = 6 cm ; ;BC = 8 cm. P est un point du segment [AB]. PQCS est un rectangle inscr
Mathématiques
Anaken
Question
Sur le shéma ci-dessous, ABC est un triangle rectangle tel que : AB = 10cm ; AC = 6 cm ; ;BC = 8 cm. P est un point du segment [AB]. PQCS est un rectangle inscrit dans le triangle ABC. On pose PQ = x 1) Quelles sont les valeur que peut prendre x ? 2) Exprimer PS en fonction de x ? 3) Pour quels valeurs de x le quadrilatère PQCS est-il un carré ? Justifier par un calcul 4) On apelle A(x) l'aire du rectangle PQCS en cm². Monter que A(x)=-4/3x²+8x 5) a) Calculer A(1/4) b) Calculer A(6). Ce résultats peut-il être obtenu directment sans utiliser l'expression A(x) ? Pourquoi ? 6) On donne ci-après la représentation graphique de A. a. Déterminer graphiquement en laissant les traits construits pour la lecture pour quelle(s) valeur(s) de x, l'aire du rectanlge mesure 8 cm². b. Déterminer graphiquement en laissant les traits construits pour la lecture la mesure de l'aire du rectangle lorsque x mesure 4 cm. c. Déterminer graphiquement l'aire maximale du rectangle ainsi que la valeur de x correspodante.
merci d'avance
merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse aymanemaysae
Bonjour ;
1)
Si P est confondu avec B alors Q l'est aussi et on a : PQ = BB = 0 ;
donc x peut prendre la valeur : 0 .
Si P est confondu avec A alors Q est alors confondu avec C
et on a : PQ = AC = 0 ; donc x peut prendre la valeur : 6 .
P se place n'importe où sur le segment [AB] ;
donc x peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 6 ;
donc l'ensemble des valeurs de x est : [0 ; 6] .
2)
On a :
BQ = BC - CQ = 8 - PS .
Les deux droites (AP) et (CQ) sont sécantes et se coupent au point B .
Les deux droites (AC) et (PQ) sont perpendiculaires
à la droite (CQ) ; donc elles sont parallèles .
En appliquant le théorème de Thalès , on a :
PQ/AC = BQ/BC ;
donc : x/6 = (8 - PS)/8 ;
donc : 8x = 6(8 - PS) ;
donc : 8x = 48 - 6PS ;
donc : 6PS = 48 - 8x ;
donc : PS = - 8/6 x +8 ;
donc : PS = - 4/3 x + 8 .
3)
PQCS est un carré si :
PQ = PS ;
donc si : x = - 4/3 x + 8 ;
donc : x + 4/3 x = 8 ;
donc : 7/3 x = 8 ;
donc : x = 24/7 .
4)
L'aire du rectangle PQCS est : PQ * PS ;
donc : A(x) = x(- 4/3 x + 8) = - 4/3 x² + 8x .
5)
a)
A(1/4) = - 4/3 * (1/4)² + 8 * (1/4)
= - 4/3 * 1/16 + 2 = - 1/12 + 24/12 = 23/12 .
b)
A(6) = - 4/3 * (6)² + 8 * (6) = - 4/3 * 36 + 48 = - 48 + 48 = 0 .
On peut le prévoir , car si x = 6 on a : PQ = 6 = AC ;
donc le rectangle se réduit au segment [AC] et donc
son aire est nulle .Autres questions
