Bonsoir ! J'aurais vraiment besoin d'un coup de pouce, je bloque un peu sur la deuxième partie du problème, en effet, je trouve que un = u0 donc par équivalence

1) dans un tableur, la colonne B est croissante et convergente vers 400
la colonne C est décroissante et convergente vers 100

2) a) u(n+1)=a(n+1)+b(n+1)
                 =0.95a(n)+0.2b(n)+0.05a(n)+0.8b(n)
                 =a(n)+b(n)
                 =u(n)
donc u est constante

b) v(n+1)=a(n+1)-4b(n+1)
              =0.95a(n)+0.2b(n)+-4(0.05a(n)+0.8b(n))
              =0.75a(n)-3b(n)
              =0.75(a(n)-4b(n))
              =0.75v(n)
donc v est géométrique

c) u(n)=a0+b0 et v(n)=(a0-4b0).075^n
donc a(n)+b(n)=a0+b0 et a(n)-4b(n)=(a0-4b0).075^n
par différence : 5b(n)=a0(1-0.75^n)+b0(1+4.0.75^n)
donc b(n)=a0(1/5-1/5.0.75^n)+b0(1/5+4/5.0.75^n)

on déduit alors :
a(n)=a0+b0-b(n)
donc a(n)=a0(4/5+1/5.0.75^n)+b0(4/5-4/5.0.75^n)

d) lim(0.75^n)=0 car 0<0.75<1
donc lim(a(n))=a0*4/5+b0*4/5
et lim(b(n))=a0*1/5+b0*1/5
on retrouve les proportions du 1) 4/5*500=400 et 1/5*500=100

3)a) la matrice A est la matrice de transition du système global
A=(0.95      0.2)
    (0.05      0.8)
on déduit que U(n+1)=A*U(n) par la produit des matrices (cf COURS)

b) U(n)=A*U(n-1)
           =A²*U(n-2)
           =A³*U(n-3)
           =...
           =A^n*U0 par produits téléscopiques
donc U est géométrique
et U(n)=A^n * U0 avec U0=(a0 b0) --> matrice colonne !

c) A^n=(4/5+1/5*0.75^n           4/5-4/5*0.75^n)
            (1/5-1/5*0.75^n            1/5+4/5*0.75^n)
du fait que lim(0.75^n)=0 on déduit que
lim(Un)=(4/5      4/5)(a0)
             (1/5      1/5)(b0)