Un = Racine(n+1) - Racine(n) Demontrer pour tout N* que : 1/(2Racine(n+1))< Un < 1/(2Racine(n)) avec < et > signifiant supérieur/inférieur Ou égal à... Pouvez-v

Bonsoir,

[tex]U_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\\\U_n=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\\\U_n=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\\\U_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}[/tex]

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[tex]n<n+1[/tex]

[tex]\sqrt{n}<\sqrt{n+1}[/tex] car la fonction racine carrée est croissante sur R+

[tex]\sqrt{n}+\sqrt{n}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/tex]

[tex]2\sqrt{n}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2\sqrt{n}}>\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}[/tex] car la fonction inverse est strictement décroissante sur R*.

Donc  [tex]U_n<\dfrac{1}{2\sqrt{n}}[/tex]

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[tex]n<n+1[/tex]

[tex]\sqrt{n}<\sqrt{n+1}[/tex] car la fonction racine carrée est croissante sur R+

[tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}[/tex]

[tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<2\sqrt{n+1}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}>\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}[/tex] car la fonction inverse est strictement décroissante sur R*.

Donc  [tex]U_n>\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}[/tex]

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Par conséquent  : [tex]\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}<U_n<\dfrac{1}{2\sqrt{n}}[/tex]