Bonsoir, dans un exercice, je dois déterminer une équation à la tangente en A à la courbe représentative f. f(x) = 1/4x + 1/4 + 2,5/x f'(x) = - 11/4x Je ne sais

Bonjour,

Calcul de la dérivée (la tienne est fausse):

[tex]f(x)=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2,5}{x}\\\\=\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2x}\\\\=\dfrac{x+1}{4}+\dfrac{5}{2x}\\\\=\dfrac{1}{4}\times(x+1) +5\times \dfrac{1}{2x}\\\\ =\dfrac{1}{x}+5\times\dfrac{1}{2x}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{4}+5\times\left(-\dfrac{2}{(2x)^2}\right)\\\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{10}{(2x)^2}\\\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{10}{4x^2}\\\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{2x^2}\\\\ =\dfrac{1\times2x^2-4\times5}{4\times2x^2}\\\\ =\dfrac{2x^2-20}{8x^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{x^2-10}{4x^2}}[/tex]

Équation de tangente:  
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]

1) On remplace 1 dans la dérivée:

[tex]f'(1)=\dfrac{1^2-10}{4\times1^2}\\\\ \boxed{f'(1)=-\dfrac{9}{4}}[/tex]

2) On remplace 1 dans la fonction de base: 

[tex]f(1) = \dfrac{1}{4}\times1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2,5}{1}\\\\ = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+2,5\\\\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}\\\\=\dfrac{6}{2}\\\\ \boxed{f(1)= 3}[/tex]

3) Application de la formule:

[tex]y = -\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}+3\\\\ y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{27}{12}+\dfrac{36}{12}\\\\ y =- \dfrac{9}{4}x+\dfrac{63}{12}\\\\\boxed{y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{21}{4}}[/tex]