Bonjour, je ne comprends pas un exercice de limites (en utilisant la définition). Pouvez vous bien m'aider, s'il vous plaît ? Merci d'avance. Soit f une fonctio
Mathématiques
Dalal65
Question
Bonjour, je ne comprends pas un exercice de limites (en utilisant la définition). Pouvez vous bien m'aider, s'il vous plaît ? Merci d'avance.
Soit f une fonction définie par f(x)= √(x+1) et soit epsilon>0
On considère l'ensemble E={x appartient à Df, |f(x)-1|< epsilon
1. Déterminer suivant les valeurs de epsilon, l'ensemble E
2. Trouver un réel alpha >0 : ]-l'infini, alpha[ appartient à E
3. Déduire que lim f(x) =1 ( x tend vers 0)
Soit f une fonction définie par f(x)= √(x+1) et soit epsilon>0
On considère l'ensemble E={x appartient à Df, |f(x)-1|< epsilon
1. Déterminer suivant les valeurs de epsilon, l'ensemble E
2. Trouver un réel alpha >0 : ]-l'infini, alpha[ appartient à E
3. Déduire que lim f(x) =1 ( x tend vers 0)
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
x doit être supérieur ou égal à -1 pour que x+1 soit positif ou nul .
L' ensemble de définition de la fonction "f" est donc :
Df = [ -1 ; +infini [
on choisit epsilon = e > zéro ( "epsilon POSITIF" )
1°) pour x POSITIF :
f(x) - 1 < e donne f(x) < 1 + e donc rac(x+1) < (1+e)
(x+1) < (1+e)²
x+1 < 1 + 2e + e²
x < 2e + e²
x < e(2+e)
conclusion : pour x positif, E = { 0 ; e(2+e) }
pour -1 < x < 0 :
1 - f(x) < e donne f(x) > 1 - e donc rac(x+1) > (1-e)
(x+1) > (1-e)²
x > e(e-2)
conclusion : pour -1<x<0 ; E = { e(e-2) ; 0 }
3°) pour x voisin de zéro, on a bien lim f(x) = +1