Exercice 1 : Soient les points A(2;− 1) , B(3;7) , C(− 5;1) et U(11;13) 1. Calculer les coordonnées du point V défini par ⃗ BV=− ⃗ AB+2⃗ BC 2. Démontrer que

(je n'arrive pas à mettre les flèches, donc je les remplacerai par "#"

1. #BV = -#AB+2#BC
Tout d'abord, il faut calculer -#AB. Pour cela, on commence par calculer #AB :

#AB = (Xb - Xa) = (3 - 2)
           (Yb - Ya) = (7 - (-1))
#AB = (1)
           (8)

Donc, -#AB = (-1)
                       (-8)

Ensuite on calcule 2#BC. Pour cela, on doit d'abord calculer #BC :

#BC = (Xc - Xb) = (-5 - 3)
           (Yc - Yb) = (1 - 7)

#BC = (-8)
           (-6)

Donc 2#BC =  (2 x (-8))
                        (2 x (-6))

2#BC = (-16)
             (-12)


Si #BV = -#AB + 2#BC, on a :

(-1 + (-16)) = (-17)
(-8 + (-12)) = (-20)

#BV = (-17)
           (-20)


2. (Trace le parallélogramme CUAV à main levée pour mieux comprendre)
    Pour cette question, on doit prouver que :
      a.   (CU) // (VA), donc que #CU et #VA sont colinéaires
            OU
            (CV) // (UA), donc que #CV et #UA sont colinéaires
      b.   (CU) et (UA)  -ou-  (UA) et (AV)  -ou-  (AV) et (VC)  -ou-  (VC) et (CU)              ne sont PAS colinéaires

CALCULS :


a.    prenons (CU) et (VA).
       il faut calculer #CU. on trouve (16)
                                                       (12)

       ensuite il faut calculer #VA. pour se faire, il faut trouver les coordonnées de V, grâce à #BV, dans la question 1
on trouve V(-14;-13). Pour #VA, on trouve (16)
                                                                    (12)

conclusion: #CU et #VA sont colinéaires, donc (CU) // (VA)

b. on prend par exemple (CU) et (UA)
    #CU (16)                    #UA (-9)
            (12)                             (-14)

pour savoir s'ils sont colinéaires ou non, on fait un produit en croix :

16 x (-14) = -224
12 x (-9) =  -108

conclusion : #CU et #UA ne sont pas colinéaires, donc (CU) et (UA) ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes.


CONCLUSION : (CU) // (VA) et (CU) et (UA) sont sécantes : CUAV est bien un parallélogramme



3. Xi = Xa + Xc    =    2 + (-5)   =     -3    =   -1.5
          -------------        -----------        -----
                 2                   2                 2

      
     Yi = Ya + Yc     =    (-1) + 1       =       0      =   0
           -------------         ------------            -----
                 2                       2                    2


I(-1.5;0)



4. Si D est le symétrique de B par rapport à I, alors on a :


           Xb + Xd                                    3 + Xd
 Xi =   ------------   ce qui fait     -1.5 =  ----------
                2                                              2

donc on a :

-3 = 3 + Xd

-3-3 = Xd

Xd = -6


on fait la même chose pour Yd :


Yi = Yb + Yd     donc    0 = 7 + Yd
       ------------                     ----------
            2                                 2


on a donc :

0 = 7 + Yd
Yd = -7


CONCLUSION : Y(-6;-7)