Bonjour, j'ai besoin d'aide pour ce devoir merci .

Bonsoir,

1. Soit x∈[0;1]. On pose :
x²/2 ≤ x²/(x+1) ≤ x²
⇔ 1/2 ≤ 1/(x+1) ≤ 1, car x² ≥ 0
⇔ 2 ≥ x+1 ≥ 1
⇔ 1 ≥ x ≥ 0
Or 1 ≥ x ≥ 0 est toujours vrai car on a défini x comme un réel compris entre 0 et 1
Donc par succession d'équivalences, on a, ∀x∈[0;1], x²/2 ≤ x²/(x+1) ≤ x²
Ainsi, on a ∫₀¹(x²/2).dx ≤ I ≤ ∫₀¹x².dx
Or x³/6 est une primitive de x²/2 sur [0;1]
Et x³/3 est une primitive de x² sur [0;1]
D'où :
∫₀¹(x²/2).dx = [x³/6]₀¹ = (1³/6)-(0³/6) = 1/6
∫₀¹x².dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3)-(0³/3) = 1/3
Donc on a 1/6 ≤ I ≤ 1/3

2. x-1+(1/(x+1)) = ((x-1)(x+1)/(x+1))+(1/(x+1)) = ((x-1)(x+1)+1)/(x+1) = (x²-1²+1)/(x+1) = (x²-1+1)/(x+1) = x²/(x+1)
Ainsi, I = ∫₀¹(x-1+(1/(x+1))).dx
Or (x²/2)-x est une primitive de x-1 sur [0;1]
Et ln(x+1) est une primitive de 1/(x+1) sur [0;1]
D'où, par somme de primitives, (x²/2)-x+ln(x+1) est une primitive de x-1+(1/(x+1)) sur [0;1]
D'où I = [(x²/2)-x+ln(x+1)]₀¹ = (1²/2)-1+ln(1+1)-((0²/2)-0+ln(0+1)) = (1²/2)-1+ln(1+1) = (1/2)-1+ln(2) = ln(2)-(1/2)

3. Ainsi, on a :
1/6 ≤ ln(2)-(1/2) ≤ 1/3
(1/6)+(1/2) ≤ ln(2) ≤ (1/3)+(1/2)
(1/6)+(3/6) ≤ ln(2) ≤ (2/6)+(3/6)
4/6 ≤ ln(2) ≤ (5/6)
2/3 ≤ ln(2) ≤ 5/6