Bonjour, svp aidez moi pour ce dm. Merci beaucoup

Bonjour,

1) a)

f₃ = 440 Hz

L'énoncé indique que lorsqu'on multiplie la fréquence d'une note par 2, on obtient la même note à l'octave supérieur.

Donc fn+1 = 2 x fn
⇒ (fn) est une suite géométrique de raison q = 2

On en déduit : fn = f₃ x 2⁽ⁿ⁻³⁾ = 440 x 2ⁿ⁻³

b) 440 x 2ⁿ⁻³ > 20000

⇔ 2ⁿ⁻³ > 20000/440

⇒ ln(2ⁿ⁻³) > ln(500/11)

⇒ (n - 3)ln(2) > ln(500/11)

⇔ n > ln(500/11)/ln(2) + 3

Soit n > 8,5

Donc le numéro de l'octave le plus aigu audible est n = 8

2) a)

q¹² = 2

⇒ log(q¹²) = log(2)

⇔ 12log(q) = log(2)

⇔ log(q) = log(2)/12

b) Entre un do et un mi d'un même octave, il y a 4 demi-tons.

Donc F₁ = q⁴ x F₂ ⇒ F₁/F₂ = q⁴

et 1000 x log(F₁/F₂) = 1000 x log(q⁴)

= 4000 x log(q)

= 4000 x log(2)/12

= 1000 x log(2)/3

≈ 100