Bonjour f est une fonction définir sur [0;+infini] par f(x)= 2x/x^2+9 f'(x)= 2(3+x)(3-x)/(x^2+9)^2 1) démontrer que pour tout nombre réel x > ou égale à 0, f(x)

Bonsoir ;

Première méthode .

1)

∀ x ∈ IR ; on a :
f(x) - 1/3 = 2x/(x² + 9) - 1/3 = (6x - x² - 9)/(3(x² + 9))
= - (1/3) ((x² - 6x + 9)/(x² + 9)) = - (1/3)((x - 3)²/(x² + 9)) ≤ 0 ;
donc : ∀ x ∈ |R , f(x) ≤ 1/3 ;
donc : ∀ x ∈ [0 ; + ∞ [ , f(x) ≤ 1/3 .

2)

∀ x ∈ [5 ; + ∞ [ , f ' (x) < 0 ;
donc : ∀ x ∈ [5 ; + ∞ [ , f(x) ≤ f(5) = 10/34 = 5/17 < 0,3 .

Deuxième méthode .

On a : f ' (x) = 0 si : (3 + x)(3 - x) = 0 ;
donc si : 3 + x = 0 ou 3 - x = 0 ;
donc si : x = - 3 ou x = 3 .

de plus , on a : f ' (x) est du signe de : -2x² + 18 .

Le tableau de variation de f est comme dans le fichier ci-joint .

On voit que : ∀ x ∈ [0 ; + ∞ [ , 0 ≤ f(x) ≤ 1/3 .

On voit aussi que f est décroissante sur [3 ; + ∞ [ ;
donc : ∀ x ∈ [5 ; + ∞ [ , f(x) ≤ f(5) = 10/34 = 5/17 < 0,3 .