dans un repère orthonormé (o;i;j), on considère les points A(1,2) et B(-1;4). Déterminer dans chaque cas l'ensemble des points M(x;y) tel que: vecteur MA.MB=98

Bonjour,

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Rappel de cours : [Produit scalaire]
Soient u(x;y) et v(x';y') deux vecteurs dans ℝ²
Donc u·v = xx'+yy'
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Soient les points A(1,2), B(-1;4) et M(x;y), avec x et y des réels.
D'où on a les vecteurs MA(1-x;2-y) et MB(-1-x;4-y) dans ℝ²
D'où MA·MB = (1-x)(-1-x)+(2-y)(4-y) = x²-1²+8-2y-4y+y² = x²-1+8-6y+y² = x²+y²-6y+7
Ainsi :

MA·MB = 98
x²+y²-6y+7 = 98
(x+0)²+y²-6y+7 = 98
(x+0)²+y²-6y+9 = 100
(x+0)²+(y-3)² = 10²
Donc l'ensemble des points M tel que MA·MB = 98 est le cercle de centre (0;3) et de rayon 10

MA·MB = -2
x²+y²-6y+7 = -2
(x+0)²+y²-6y+7 = -2
(x+0)²+y²-6y+9 = 0
(x+0)²+(y-3)² = 0²
Donc l'ensemble des points M tel que MA·MB = -2 est le point de coordonnées (0;3)

MA·MB = -18
x²+y²-6y+7 = -18
(x+0)²+y²-6y+7 = -18
(x+0)²+y²-6y+25 = 0
(x+0)²+(y-3)²+16 = 0
(x+0)²+(y-3)² = -16
Or ∀(x,y)∈ℝ²,(x+0)² ≥ 0 et (y-3)² ≥ 0, d'où (x+0)²+(y-3)² ≥ 0
Donc l'ensemble des points M tel que MA·MB = -18 est l'ensemble vide ∅