bonjour pouvez vous m’aider pour cet exercice svp j’en ai vraiment besoin

Bonjour,

Partie A

1) sur I = [0;1]

f'(x) = (3x² + 1)/2 donc > 0 sur I ⇒ f croissante sur I

g'(x) = (eˣ + 1)/e donc > 0 sur I ⇒ g croissante sur I


x        0                                1
f'(x)                    +
f(x)            croissante
g'(x)                   +
g(x)           croissante

2)

f"(x) = 6x/2 = 3x donc ≥ 0 sur I ⇒ f convexe

g"(x) = eˣ/e donc ≥ 0 sur I ⇒ g convexe

3) a) f(0) = 0 et f(1) = 1

f(x) - x = (x³ + x)/2 - x 

= (x³ + x - 2x)/2

= (x³ - x)/2

= x(x - 1)(x + 1)/2

Sur I, x ≥ 0 et (x + 1) ≥ 0

Donc f(x) - x est du signe de (x - 1), et donc ≤ 0

Soit : f(x) - x ≤ 0 ⇔ f(x) ≤ x

⇒ Cf est en-dessous de la droite d'équation y = x sur I

b) g(0) = 0 et g(1) = 1

g(x) - x = (eˣ - 1 + x)/e - x

= (eˣ - 1 + x - ex)/e

= [eˣ - 1 + x(1 - e)]/e

On ne sait pas trop déterminer le signe de cette expression. Donc on raisonne autrement :

On sait que qu'aux points d'abscisses x = 0 et x = 1, g(x) = x

Et on sait que g est convexe sur I

Donc, on peut en déduire que g(x) ≤ x sur I

4) ci-joint

Partie B
ah bah non ça s'arrête là