Bonsoir , Combien existe t’il de nombre à trois chiffre dans lequel le chiffre des unités et la moyenne des chiffre des dizaines et celui des centaine ?

bonsoir
soit cdu le nombre
u=(c+d)/2
d'où
c+d est pair
c+d=2  d'où c=1d=1 u=2/1=1 d'où 111
c+d=4   d'où  u=4/2=2    c+d=4   4=1+3     132   312
                                                     4=2+2    222
c+d=6  d(où u=3            c+d=6    6=1+5     153 513
                                                     6=4+2     423  243                   
                                                     6=3+3      333
c+d=8  d'où u=4          c+d=8       8=1+7      174    714
                                                     8=2+6      264    624
                                                     8= 3+5     354    534
                                                      8=4+4     444
c+d=10  d'où u=5        c+d=10      10=1+9    195    915
                                                      10=2+8    285  258
                                                        10=3+7   375  735
                                                       10=6+4    645  654
                                                         10=5+5   555
d'où
111;132;153;174;195;222;243;258;264;285;312;333;354;375;423;444;513;534;555;624;645;654;714;735;915;

               

Bonsoir ;

Soit x ce nombre ;
donc on a : x = 100c + 10d + u avec c ∈ {1 ; 2; ... ; 9} ;
d et u ∈ {0 ; 1 ; 2 ; .... ; 9} .
On a : c ≠ 0 car x est un nombre de trois chiffres .

Si d = 0 ;
donc : u = (c + d)/2 = (c + 0)/2 = c/2 ;
donc : c est un nombre pair ;
donc : c ∈ {2 ; 4 ; 6 ; 8} .
Si c = 2 on a : u = 1 donc le nombre cherché est : 201 .
Si c = 4 on a : u = 2 donc le nombre cherché est : 402 .
Si c = 6 on a : u = 3 donc le nombre cherché est : 603 .
Si c = 8 on a : u = 4 donc le nombre cherché est : 804 .

Si d ≠ 0 ;
on a donc : c ; d et u différents de 0 .

Si u = 1 ;
donc : 1 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 2 ;
donc : c = d = 1 ;
donc on a : 1 nombre ;
ou autrement dit : (2 x 1 - 1) nombre .

Si u = 2 ;
donc : 2 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 4 ;
donc : c = 1 , d = 3 ou c = 2 , d = 2 ou c = 3 , d = 1 ;
donc on a : 3 nombres ;
ou autrement dit : (2 x 2 - 1) nombres .

Si u = 3 ;
donc : 3 = (c + d)/2 ;
donc : c + d = 6 ;
donc : c = 1 , d = 5 ou c = 2 , d = 4 ou c = 3 , d = 3
ou c = 4 , d = 2 ou c = 5 , d = 1 ;
donc on a : 5 nombres ;
ou autrement dit : (2 x 3 - 1) .

On remarque que pour u on a : 2u - 1 nombres ;
donc les résultats obtenus sont :
(2 x 1 - 1) + (2 x 2 - 1) + (2 x 3 - 1) + (2 x 4 - 1) + (2 x 5 - 1)
+ (2 x 6 - 1) + (2 x 7 - 1) + (2 x 8 - 1) + (2 x 9 - 1)
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 .

Conclusion :
Le nombre total des nombres vérifiant la propriété énoncée est
la somme du nombre obtenu pour le cas d = 0  qui est de 4 ;
les 81 nombres obtenus pour le cas u , d et c non nuls ;
donc ce nombre est : 4 + 81 = 85 nombres de trois chiffres
dans lesquels le chiffre des unités est la moyenne du chiffre
des dizaines et celui des centaines ;