Bonjour, je dois trouvez a l'aide de thalès une équation du second degrès de type ax²+bx+c=0 et le prof m'a donné la réponse car je n'y arrivais pas et il m'a d

Bonjour,

Les points M, E, X et A sont alignés
Les points M, F, T et B sont alignés dans le même ordre

Et les droites (EF), (XT) et (AB) sont parallèles.

Donc, d'après Thalès :

ME/MX = MF/MT = EF/XT    (1)

ME/MA = MF/MB = EF/AB   (2)

MX/MA = MT/MB = XT/AB    (3)

On connait : EF = 5, AB = 15 et AE = 20

On cherche AX (ou XE) et on va noter AX = x (donc XE = 20 - x)
x ∈ [0;20]

Dans le triangle rectangle en A MAB : MA² + AB² = MB²    (4)
Dans le triangle rectangle en M MEF : ME² + EF² = MF²    (5)
Dans le triangle rectangle en M MXT : MX² + XT² = MT²     (6)

On sait aussi : ME = MA - 20 (7)

On sait enfin que quand X = E (soit x = 20) alors V = 2 L = 2000 cm³
Donc l'aire du trapèze ABFE vaut : V/EH = 2000/10 = 200 cm²

On peut vérifier : Aire(ABFE) = (AB + EF)*AE/2 = (15 + 5)*20/2 = 200 cm²

Donc :

Aire(ABTX) = (AB + XT)*AX/2 = (15 + XT)x/2

On souhaite donc trouver XT dans les 3 cas suivants :

(15 + XT)x/2 = 500/10 = 50          (8)
(15 + XT)x/2 = 1000/10 = 100      (9)
(15 + XT)x/2 = 1500/10 = 150      (10)

(2) ⇔ (MA - 20)/MA = MF/MB = 5/15

On en déduit : (MA - 20)/MA = 1/3

⇔ 3(MA - 20) = MA
⇔ 2MA = 60
⇔ MA = 30

On en déduit : (7) ⇔ ME = 30 - 20 = 10

Puis : (1) ⇔ 10/(30 - x) = MF/MT = 5/XT

On en déduit : 10XT = 5(30 - x)

⇔ XT = (30 - x)/2

On a alors :

(8) ⇔ (15 + XT)x/2 = 50

⇔ x(15 + (30 - x)/2)/2 = 50

⇔ x(15 + 15 - x/2) = 100

⇔ x(30 - x/2) = 100

⇔ x(60 - x) = 200

⇔ -x² + 60x - 200 = 0

⇔ x² - 60x + 200 = 0

Δ = (-60)² - 4x1x200 = 3600 - 800 = 2800 = (20√7)²  (≈52,9)

donc 2 solutions : x = (60 - 20√7)/2 = 30 - 10√7 ≈ 3,54 cm

ou x = 30 + 10√7 ≈ 56,5 donc ∉ [0;20]

On en déduit XT = (30 - x)/2 = (30 - 30 + 10√7)2 = 5√7

Même méthode pour résoudre (9) et (10) :