Bonjour Merci de m'aider s'il vous plaît pour les 3 exos

Bonjour,

EX 1

Un+1 = 0,8Un + 45 et U₀ = 150

1) U₁ = 0,8 x 150 + 45 = 165
U₂ = 0,8 x 165 x + 45 = 177

2)a) Vn = Un - 225

Vn+1 = Un+1 - 225 = 0,8Un + 45 - 225 = 0,8Un - 180 = 0,8(Un - 225) = 0,8Vn

⇒ (Vn) suite géométrique de raison q = 0,8 et de 1er terme V₀ = U₀ - 225 = 150 - 225 = -75

b) On en déduit : Vn = -75 x (0,8)ⁿ

⇒ Un = Vn + 225 = 225 - 75 x (0,8)ⁿ

c) lim (0,8)ⁿ quand n → +∞ = 0

donc lim Un = 225

EX 2

f(x) = 2xe^(-x+3)

a) f'(x) = 2e^(-x + 3) - 2xe^(-x + 3) = 2(1 - x)e^(-x + 3)

b) f'(x) est du signe de (1 - x)

x            0                      1                         7
f'(x)                  +            0             -
f(x)            croissante       décroissante

f(0) = 0
f(1) = 2e²     ≈ 14,778
f(7) = 14e⁻⁴ ≈ 0,256

c) 0 ≤ 10 ≤ 2e²

⇒ f(0) ≤ 10 ≤ f(1)

Or f est strictement croissante sur [0;1].
Donc il existe un unique x₁ ∈ [0;1] / f(x₁) = 10

De même, 2e² ≥ 10 ≥ 14e⁻⁴

⇒ f(1) ≥ 10 ≥ f(7)

Or f est strictement décroissante sur [1;7].
Donc il existe un unique un unique x₂ ∈ [1;7] / f(x₂) = 10

On trouve x₁ ≈ 0,355 et x₂ ≈ 2,160

EX 3

1) c) f(-1) = 3

2) b) f'(-1) = -2

3) c) 3 solutions

4) b) 2 solutions (tangentes horizontales)

5) a) f'(x) > 0 (f est croissante sur [-6;-4]