Bonjour j'ai vraiment besoin d'aide svp

Bonjour,

1) f(x) = eˣ + 1/eˣ  définie sur R

a) f'(x) = eˣ - eˣ/(eˣ)² = eˣ - 1/eˣ = (e²ˣ - 1)/eˣ

b) Signe de f'(x) = Signe de (e²ˣ - 1)

e²ˣ - 1 = 0 ⇔ e²ˣ = 1 ⇒ x = 0

x          -∞                            0                              +∞
f'(x)                    -                0              +
f(x)            décroissante             croissante

lim f(x) quand x → -∞ = +∞
f(0) = 2
lim f(x) quand x → +∞ = +∞

c) On en déduit que pour tout x ∈ R, f(x) ≥ 2

Soit eˣ + 1/eˣ ≥ 2 et donc eˣ + e⁻ˣ ≥ 2

2)

a) f"(x) = eˣ + eˣ/e²ˣ = eˣ + 1/eˣ = f(x)

b) Donc, pour tout x ∈ R, f"(x) ≥ 2

On en déduit que f'(x) est croissante sur R.

Et donc que f est convexe sur R