Bonjour, l’exercice est : 1) Démontrer que 1/5-1/6 =1/5*6 2)la lettre « n » désigne un entier naturel différent de 0 : prouver que 1/n - 1/n+1 = 1/n*(n+1) 3) e

Bonjour ;

1)

1/5  -  1/6  = (1 x 6)/(5 x 6)  - (1 x 5)/(5 x 6)
= 6/(5 x 6)  -  5/(5 x 6) = (6 - 5)/(5 x 6) = 1/(5 x 6) .

2)

1/n  - 1/(n + 1)  =  (n + 1)/[n(n + 1)]  - n/[n(n + 1)]
= (n + 1 - n)/[n(n + 1)] = 1/[n(n + 1)] .

3)

On a :

1/(1 x 2) = 1/1  -  1/2 ;
1/(2 x 3) = 1/2  -  1/3 ;
1/(3 x 4) = 1/3  -  1/4 ;
....................................
....................................
1/(49 x 50) = 1/49  -  1/50 ;

donc on a :

1/(1 x 2) + 1/(2 x 3) + 1/(3 x 4) + ........... + 1/(49 x 50)
= 1/1  -  1/2  +  1/2  -  1/3  + ...................+ 1/49  -  1/50 .

On remarque que les termes qui se trouvent au milieu s'annulent
entre-eux : - 1/2 avec 1/2 ; - 1/3 avec 1/3 ..... et  - 1/49 avec 1/49 ;
et il restent seulement : 1/1 et - 1/50 .

La somme qu'on calcule se réduit à : 1 - 1/50 = 50/50 - 1/50 = 49/50 .