bonjour, j'ai un dm de maths à faire pour demain et je bloque totalement pouvez vous m'aidez? voici l'énoncé: sur une parcelle rectangulaire ABCD de 4 mètres pa

Bonjour,

voir figure ci-joint

On pose :

AE = EF = FG = GA = X

et CH = HI = IJ = JC = Y

on a :

0 ≤ X ≤ 4 et 0 ≤ Y ≤ 4

De plus, E, F, I et alignés ⇒ X + Y = 4

Aire (AEFG) = X²
Aire (CHIJ) = Y²

Aire de la partie restante : A = (4 x 8) - X² - Y²

⇔ A = 32 - (X² + Y²)

X + Y = 4 et X, Y positifs ⇔ (X + Y)² = 16

soit : X² + 2XY + Y² = 16

et donc X² + Y² = 16 - 2XY

On en déduit : A = 32 - (X² + Y²) = 32 - (16 - 2XY) = 16 + 2XY

On veut A maximale. Donc il faut XY maximale.

X + Y = 4 ⇔ Y = 4 - X

⇒ XY = X(4 - X)

Soit f la fonction qui à X associe X(4 - X). On cherche alors le maximum de f.

f(X) = X(4 - X) = -X² + 4X = -(X - 2)² + 4

D'après cette forme canonique, f(X) atteint son maximum pour X = 2

ce donne f(2) = 4 et donc Y = 2 et A = 4 m²

Voir figure 2