Bonjour besoin d aide pour la partie trois de mon dm merci d avance

Bonjour

1 + (1/2) + (1/2)² + ... + (1/2)ⁿ

= (1/2)⁰ + (1/2)¹ + (1/2)² + .... + (1/2)ⁿ

somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme 1.

Donc :

1 + 1/2 + .... + (1/2)ⁿ = (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)/(1 - (1/2))

= (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)/(1/2)

= 2 x (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)

= 2 - 2x(1/2)ⁿ⁺¹

= 2 - (1/2)ⁿ

⇒ Sn = 4 x (2 - (1/2)ⁿ) = 8 - 4(1/2)ⁿ

2) Quand n → +∞, (1/2)ⁿ → 0

donc lim Sn = 8

Au bout de n heures, quand n → +∞, le mélange contient 8 L d'adjuvant

3) Sn > 7,9

⇔ 8 - 4 x (1/2)ⁿ > 7,9

⇔ 4 x (1/2)ⁿ < 0,1

⇔ 1/2ⁿ < 0,025

⇒ 2ⁿ > 1/0,025

⇔ 2ⁿ > 40

⇒ n x ln(2) > ln(40)

⇔ n > ln(40)/ln(2)

soit n > 5,32

soit à partir de n = 6