Bonjour pourriez vous m'aider à l'exercice 1 (que je n'arrive pas à resoudre) de mon DM que j'ai à rendre Lundi svp

Bonjour ;

1)

Sous le signe de la racine carrée , on ne peut avoir des nombres
réels négatifs , donc le domaine de définition de la fonction f est : |R+ .

2 et 3)

Veuillez-voir le fichier ci-joint .

4)

a)

On a : 0 ≤ a < b ;
donc : 0 - b ≤ a - b < b - b ;
donc : - b ≤ a - b < 0 ;
donc : a - b < 0 .

b)

On a : f(a) = √a et f(b) = √b .

f(a) - f(b) = √a - √b = [(√a - √b)(√a + √b)]/(√a + √b)
= [ (√a)² - (√b)²]/(√a + √b) = (a - b)/(√a + √b) .

On a : √a ≥ 0 et √b > 0 ;
donc : √a + √b > 0 .

Et comme : a - b < 0 ;
donc : (a - b)/(√a + √b) < 0 ;
donc : f(a) - f(b) < 0 .

5)

∀ (a;b) ∈ (|R+)² avec 0 ≤ a < b , on a :
[f(a) - f(b)]/(a - b) > 0 car f(a) - f(b) et a - b sont de même signe ;
donc : f est strictement croissante sur |R+ .