bonjour j ai besoin d aide a calculer cette limite svp

le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 donc on a une forme indeterminée.

pour résoudre cet exercice, il faut  donc utiliser les développement limités :

on pose X= x-pi/2 donc on remplace x par X+pi/2

on sait que sin(pi/2+X)=cos (X) 
et que cos(pi/2+X) = -sin(X)

(pour retrouver ces égalités, on utilise les identités remarqaubles
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

la formule devient alors 
[tex]F(x)= \frac{ \sqrt{ \frac{cos(x)}{1-sin(x)} } }{x} = \frac{N(x)}{x} [/tex]
et on cherche la limite en X=0

sin (x) = x+o(x)
cos (x)= 1-x²/2 +o(x²)
(1/1-x)= 1+x +o(x)
donc 
1/(1-sin(x)) = 1+x + o(x)
donc le terme à l’intérieur de la racine devient 
 (1-x²/2)(1+x)+ o(x) = 1+x +o(x)

et racine (1+x) = 1+x/2+o(x)

donc le numérateur s’écrit : alors N(x) = x/2 +o(x)

donc F(x) = 1/2+o(1)

donc la limite recherchée est 1/2

j'espère que j'ai été assez clair

[tex]Bonjour ; \\\\\\ \textit{Soit f la fonction ayant pour expression : } f(x) = \sqrt{\dfrac{sin(x)}{1+cos(x)} };\\\\\\ \textit{On a : } \underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim} \dfrac{\sqrt{\dfrac{sin(x)}{1+cos(x)} }-1}{x-\frac{\pi}{2}} = \underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim} \dfrac{f(x)-1}{x-\frac{\pi}{2}} \\\\\\ = \underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim} \dfrac{f(x)-f(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}} = f'(\frac{\pi}{2}) .\\\\\\ \textit{Calculons la d\'eriv\'ee de f : } [/tex]

[tex]f'(x) = \dfrac{1}{2 \sqrt{1+cos(x)} \sqrt{sin(x)} } \ ;\\\\\\ \textit{donc : } \underset{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}{lim} \dfrac{\sqrt{\dfrac{sin(x)}{1+cos(x)} }-1}{x-\frac{\pi}{2}} = f'(\frac{\pi}{2}) \\\\\\ = \dfrac{1}{2 \sqrt{1+cos(\frac{\pi}{2})} \sqrt{sin(\frac{\pi}{2})} } = \dfrac{1}{2} . \\\\\\ \textit{Cette m\'ethode n'est pas unique , il en existe plusieurs .}[/tex]