je ne trouve aucune réponsse à ce problème: on met une bille de 9 cm de rayon dans un cylindre de 9 cm de rayon. on remplit d'eau jusqu'à affleurement de la bil

Ma réponse en fichier joint.
J'espère qu'elle est valable....il me semble que mon raisonnement se tient.
Bonne journée

en préambule à cet exercice, on considère que les billes utilisées coulent dans l'eau.
pour répondre à cette question il faut faire un schéma pour bien comprendre :

dans le cas 1 : l'eau occupe le volume qui n'est pas occupé par la bille donc :

Veau = Vcylindre9-Vbille9 = pi*R²*2*R-4/3*pi*R^3 = 2/3*pi*R^3

remarque pour le cylindre h=2*R(voir schéma)
donc Veau = 486pi=1526 cm3
si on retire la bille 
le  volume  d'eau est lié à la hauteur par la formule : 
 Veau = pi*R²*h  donc h= 6cm

conclusion 1 :  toutes les billes dont le diamètre est inférieur à 3cm  sont immergées

il faut maintenant s’intéresser aux billes dont le diamètre est entre 3 cm et 9 cm

dans ce cas  on fait l'hypothese que la bille est immergée (le calcul est plus simple) et on vérifie que la hauteur d'eau est bien supérieure au diamètre de la nouvelle bille.

 volume occupé par l'eau et la bille = 
Volume = Veau +Vnouvelle bille= 486pi+4*pi/3*R^3

or le volume occupé par l'eau et la nouvelle bille est lié par la relation : 
V= pi*(9cm)^2*h = 81pi*h

il faut donc vérifier que h>2R
avec h= (486pi+4*pi/3*R^3)/81pi = 6+4/243*r^3

or si on fait le calul pour R= 4,5 cm (bille moitié de la première bille), on trouve :
h= 7,5 cm  
or pour être immergée la hauteur devrait etre de 9 cm

donc l'hypothese que nous avons faite est fausse :

donc toutes les billes entre 3 et 9 cm ne sont pas immergé.

donc il faut étudier la fonction trouvée ci dessus pour voir jusqu'à quelle diamètre la bille est immergée

pour cela on  étudie le signe de la fonction: h-2R
f(r) = 6+4/243*r^3-2R sur [3;9]

on sait que pour r=9 l'eau affleure donc f(9) = 0
et donc on cherche à factoriser f de la forme :
f'(r)=(r-9)(ar²+br+c)
il faut trouver a, b et c

donc f(r) = a*r^3+r²(b-9a) +r(-9b+c) -9c
 donc a = 4/243
b= 9a = 4/27
-9c= 6 : c=-2/3

donc f(r)=(r-9)(4/243r²+4/27r-2/3) = 4/243(r-9)(r²+9r-81/2)
 donc trouver le zero de f revient à trouver le zéro de r²+9r-81/2

on calcule delta de l'equation (B²-4AC) et on trouve 2 solutions 
r1 = [tex] \frac{-9-9 \sqrt{3} }{2} [/tex] = -12.29
r2= [tex] \frac{-9+9 \sqrt{3} }{2} [/tex] = 3.294

seule la solution entre [3;9] nous interesse donc

la conclusion de l’exercice est la suivante 
il y 2 cas de figure pour une bille de rayon R 
 la bille coule pour un rayon dans l'intervale [0;[tex] \frac{9}{2} ( \sqrt{3} -1)[/tex][
la bille dépasse du niveau de l'eau pour un rayon dans l'intervalle  ][tex] \frac{9}{2} ( \sqrt{3} -1)[/tex]; 9[
la bille affleure dasn les 2 cas suivant :
R=9 ou R= [tex] \frac{9}{2} ( \sqrt{3} -1)[/tex]

Au vue de l'enoncé, ça paraissait plus simple ....