Bonjour pouvez vous m’aider pour mon devoir maison en maths svpp je nest pas tout compris svp c’est pour demain et be nai pas tout compris merci d’avance

Bonjour,

Ex 2)

1) n = 1

x¹ - 1 = x - 1 et 1(x - 1) = x - 1 donc donc inégalité vérifiée

2) n ≥ 2

g(x) = xⁿ⁻¹ - 1

i) g'(x) = (n - 1)xⁿ⁻²

ii) Sur [0;+∞[, xⁿ⁻² ≥ 0

et n ≥ 2 ⇒ n - 1 ≥ 1

Donc g'(x) ≥ 0

iii) g(0) = 0ⁿ⁻¹ - 1 = 1 - 1 = 0

x            0                      +∞
g'(x)                    +
g(x)       0    croissante

On en déduit g(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [0;+∞[

3) Sur [0;+∞[, h(x) = xⁿ -  1 - n(x - 1)

i) h'(x) = nxⁿ⁻¹ - n = n(xⁿ⁻¹ - 1) = ng(x)

ii) n ≥ 2 ≥ 0 ⇒ h'(x) est du signe de g(x) sur [0;+∞{, donc h'(x) ≥ 0

x        0                        +∞
h'(x)                +
h(x)        croissante

iii) h admet donc un minimum en x = 0

On en déduit que pour tout x ∈ [0;+∞[, h(x) ≥ h(0)

h(0) = 0 donc h(x) ≥ 0

soit xⁿ - 1 - n(x - 1) ≥ 0

⇔ xⁿ - 1 ≥ n(x - 1)

4) Sur [0;+∞[, f(x) = xⁿ

i) f(1) = 1 et f'(1) = n * 1ⁿ⁻¹ = n

Donc (T) : y = n(x - 1) + 1

ii) f(x) - y = xⁿ - n(x - 1) - 1 = h(x)

Donc d'après l'inégalité de Bernoulli,  f(x) - y ≥ 0

(C) est donc au-dessus de (T)

5)

i) en posant x = 1 + 1/n, l'inégalité de Bernoulli devient :

(1 + 1/n)ⁿ - 1 ≥ n(1 + 1/n - 1)

⇔ (1 + 1/n)ⁿ - 1 ≥ 1

⇔ (1 + 1/n)ⁿ ≥ 2

ii) n = 10²⁰

(1 + 1/10²⁰)^(10²⁰) = 1

En posant x = 1 + 1/n, quand n → +∞, x → 1

⇒ xⁿ - 1 → 1 - 1 = 0

et n(x - 1) → +∞ x 0

Donc on obtient une forme indéterminée. Et l'inégalité de Bernouilli n'a plus de sens.