Bonjour, pouvez vous m’aider s’il vous plaît .

Bonjour,

Soit (uₙ) la suite définie sur ℕ par uₙ = n²/(2ⁿ)

1. u₀ = 0²/(2⁰) = 0/1 = 0
u₁ = 1²/(2¹) = 1/2
u₂ = 2²/(2²) = 4/4 = 1
u₃ = 3²/(2³) = 9/8
On suppose alors que (uₙ) est strictement croissante.

2. ∀n∈ℕ,
uₙ₊₁-uₙ = ((n+1)²/(2ⁿ⁺¹))-(n²/(2ⁿ)) = ((n+1)²/(2ⁿ⁺¹))-(2n²/(2*2ⁿ)) = ((n+1)²/(2ⁿ⁺¹))-(2n²/(2ⁿ⁺¹)) = ((n+1)²-2n²)/(2ⁿ⁺¹) = (n²+2n+1-2n²)/(2ⁿ⁺¹) = (-n²+2n+1)/(2ⁿ⁺¹)

3. Soit la fonction polynôme p définie sur ℝ par p(x) = -x²+2x+1
Le coefficient dominant de p est égal à -1 et est alors strictement négatif, donc p est croissante, puis décroissante. Donc p est positive entre ses racines, et est négatives aux extrémités de ses racines.
p(x) = 0 ⇔ -x²+2x+1 = 0
Δ = 4+4 = 8 > 0, d'où x = (-2-2√2)/(-2) ou x = (-2+2√2)/(-2)
D'où x = 1+√2 ou x = 1-√2
Donc p est positive sur [1-√2;1+√2] et est négative sur ]-∞;1-√2]∪[1+√2;+∞[

4. -n²+2n+1 est définie sur ℕ, or 1-√2 < 0 et 1+√2∈[2;3], donc d'après la question 3, -n²+2n+1 est positif sur ⟦0;2⟧ et est négatif sur ⟦3;+∞⟦
De plus, 2ⁿ⁺¹ est positif sur ℕ
D'où uₙ₊₁-uₙ est positif sur ⟦0;2⟧ et est négatif sur ⟦3;+∞⟦
Ainsi, au-delà de n = 3, la suite (uₙ) est décroissante.
Donc la conjecture est rejetée.