Bonjour, pouvez vous m'aider ? Se sont des suites et je ne vois pas comment je peux faire l'encadrement Sachant que Un+1 = 1 + ln ( 1 + Un ) β= 2.1315

Bonjour,

par récurrence :

U₀ = 2 donc U₀ ≤ β

On suppose qu'au rang n, Un ≤ β

Au rang n+1 : Un+1 = 1 + ln(Un + 1)

Un ≤ β par hypothèse de récurrence

⇒ Un + 1 ≤ β + 1

⇒ ln(Un + 1) ≤ ln(β + 1)

⇒ 1 + ln(Un + 1) ≤ 1 + ln(β + 1)

soit Un+1 ≤ 1 + ln(β + 1)

Je pense que la valeur de β que tu donnes est erronée. La bonne valeur est plutôt 2,1461 à 10⁻⁴ près. Trace les fonctions 1 + ln(1 + x) et y = x pour le vérifier.

On a alors 1 + ln(β + 1) = β

et donc Un+1 ≤ β

D'où hérédité démontrée.

La suite (Un) est donc majorée.

Et je suppose que tu as démontré précédemment qu'elle était croissante.

Donc (Un) est convergente.