bonjour pouvez-vous m'aider pour cet exercice s'il vous car je ne comprends pas l'exercice suivant. la photo est en pièce jointe. Merci beaucoup c'est sur le

Déjà postée...

1.a. Alors, pour arriver en A à l'étape n+1, il n'y a que deux possibilités :
- soit on était déjà en A à l'étape n auquel cas on a emprunté la boucle en A de probabilité 0,8
- soit on était en B à l'étape n auquel cas on a emprunté l'arc BA de probabilité 0,6.
Or, la probabilité d'être en A à l'instant n se note a_n et celle d'être en B à l'instant n se note b_n.
Ainsi, grâce à la formule des probabilités totales (car les évènements An et Bn forment une partition de l'univers) on a :
a_(n+1) = 0,8 x a_n + 0,6 x b_n  d'où  a_(n+1) = 0,8a_n + 0,6b_n.

b. a_n + b_n = 1 (d'après l'énoncé) donc b_n = 1 - a_n.
On remplace dans la formule de a_(n+1) :
a_(n+1) = 0,8a_n + 0,6(1 - a_n)
             = 0,8a_n + 0,6 - 0,6a_n
             = 0,2a_n + 0,6

c. u_(n+1) = a_(n+1) - 0,75
                  = 0,2a_n + 0,6 - 0,75
                  = 0,2a_n - 0,15.

Or, si u_n = a_n - 0,75 alors a_n = u_n + 0,75 qu'on remplace dans l'écriture précédente :

donc  u_(n+1) = 0,2 (u_n + 0,75) - 0,15
                       = 0,2u_n + 0,15 - 0,15
                       = 0,2u_n

Ainsi, (u_n) est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme u_0.

Donc u_n = u_0 x q^n  autrement dit u_n = u_0 x 0,2^n.

Or -1 < 0,2 < 1 donc 0,2^n a pour limite 0 quand n tend vers +infini.
donc u_0 x 0,2^n a pour limite 0 quand n tend vers +infini
et donc u_n a pour limite 0 quand n tend vers +infini.

Or, a_n = u_n + 0,75 donc
limite en +infini de a_n = limite en +infini de u_n + 0,75 = 0,75

Et a_n + b_n = 1 donc b_n = 1 - a_n d'où :
limite en +infini de b_n = 1 - limite en +infini de a_n = 1 - 0,75 = 0,25

d. Ainsi, quelque soit l'état probabiliste P_0 = (a_0   b_0) alors la matrice 
P_n convergera vers la matrice P = (0,75   0,25).