Bonjour, j'aurais besoin de votre aide s'il vous plaît. J'ai un exercice de maths sur les fonctions logarithme népérien, alors ça s'articule ainsi: On donne la

En tant que produit des fonctions x et ln(x) la fonction f(x) = x ln(x) est dérivable sur son ensemble de définition, c'est à dire ]0 ; +infini[.

Pour dérivée f, on va donc utiliser la formule de dérivation du produit :

(uv)' = u'v + uv'  avec u(x) = x et v(x) = ln(x) c'est à dire  u'(x) = 1  et  v'(x) = 1/x.

Cela nous donne :  f ' (x) = ln(x) + x*1/x = ln(x) + 1.

Ainsi,  f ' (x) = ln(x) + 1.

Donc, pour trouver une primitive de ln(x), on pourrait écrire que :
ln(x) =  (ln(x) + 1) - 1
donc ln(x) = f ' (x) - 1

Donc si j'appelle G(x) la primitive de ln(x) sur ]0 ; +infini[
(elle existe forcément puisque la fonction ln est continue sur ]0 ; +infini[)

Alors, on a :  G(x) = f(x) - x = xln(x) - x
(car une primitive de f' est f et une primitive de - 1 est - x)

Equation (ln x)^4 - 5(ln x)^2 + 4 = 0

Pour que cette équation ait un sens, il est nécessaire que le ln(x) existe et donc que x soit un réel strictement positif.
Donc, on ne peut résoudre cette équation que sur ]0 ; +infini[.

On pose alors  X=(ln x)² du coup, notre équation est équivalente à :
X² - 5X + 4 = 0.

C'est un polynôme du second degré dont on peut déterminer les racines à l'aide du discriminant.

Delta = (-5)² - 4x1x4 = 25 - 16 = 9 > 0.

Il y a donc deux racines :  X1 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1  et  X2 = (5 + 3) / 2 = 4.

Or, comme X = (ln x)², cela nous donne donc à résoudre :

(ln x)² = 1   ou   (ln x)² = 4    c'est à dire :

ln x = 1 ou ln x = -1 (pour la première) et ln x = 2 ou ln x = - 2 (pour la seconde)

Cela me donne donc quatre solutions strictement positives :

x1 = e^1   x2 = e^(-1)   x3 = e^2  et x4 = e^(-2).

Bonjour,

Soit la fonction définie sur R*+ par:
f(x)=x㏑x
La fonction x est une fonction qui est dérivable sur R*+ et la fonction ln est aussi dérivable sur R*+. On a donc un produit de 2 fonctions qui est aussi dérivable sur R*+.
La fonction f est du type uv donc sa dérivée sera du type u'v+uv' donc:
f'(x)=(x㏑x)'
u(x)=x donc u'(x)=1
v(x)=㏑x donc v'(x)=1/x
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
f'(x)=㏑x+x/x
f'(x)=ln(x)+1
Il vient alors de suite que:
㏑x=f'(x)-1
∫㏑xdx=∫f'(x)-1dx
∫lnxdx=∫f'(x)dx-∫1dx
∫lnxdx=f(x)-x
on nomme h(x)=lnx et comme f(x)=x㏑x donc:
∫h(x)dx=x㏑x-x
H(x)=x㏑x-x
Une primitive de ㏑x est une fonction du type x㏑x-x

Soit l'équation donnée par:
(lnx)^4-5(lnx)²+4=0
On pose alors X=(lnx)² donc:
X²-5X+4=0
Δ=b²-4ac=(-5)²-4(1)(4)=25-16=9
X(1)=(-b-√Δ)/2a=(5-3)/2=1
X(2)=(-b+√Δ)/2a=(5+3)/2=2
Comme on a X=(lnx)² donc:
(lnx)²=1 donc x=e ou x=1/e
(lnx)²=2 donc x=e² ou x=1/e²
On en déduis alors:
S={1/e²,1/e,e,e²}