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Question

bonsoir 120 a faire svp
partie A)
1) determiner limite en -infini
2)en deduire que la courbe Cf admet une asymptote dont on precisera son equation
3) justifier que pour tout reel x f(x)=(e^x-4)(e^x-1/2)
4) en deduire la limite de f en +infini

partie B
1) montrer que pour tout reel de x f(x)=2e^x(e^x-9/4)
2) etudier le signe de f’(x) puis dresser tableau de variation de la fonction f on calculera en particulier la valeur exacte de lextremum

Partie C
1) quelle est lequation de la tengeante D en 0 a la courbe Cf
2) resoudre lequation f(x)=0
3) resoudre inequation f(x)<2
bonsoir 120 a faire svp partie A) 1) determiner limite en -infini 2)en deduire que la courbe Cf admet une asymptote dont on precisera son equation 3) justifier

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1 Réponse

  • partie A) 
    1)     [tex] \lim_{x \to -\infty} f(x)=2 [/tex]
    2) Asymptote horizontale en     [tex]-\infty[/tex] d'équation [tex]y=2[/tex]
    3) en développant:     [tex](e^x-4)(e^x-\frac1 2)=e^{2x}-\frac {e^x} 2-4e^x+2 =e^{2x}-\frac{9}{2}e^{x}+2=f(x)[/tex]
    4)     [tex] \lim_{x \to \infty} e^x-4=\infty \\ \lim_{x \to \infty} e^x-\frac 1 2=\infty [/tex], par produit [tex] \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty  [/tex]

    partie B
    1)     [tex]2e^x(e^x-\frac 9 4)=2e^{2x}-\frac 9 2e^x = f'(x) [/tex] 
    2) On en déduit [tex]f'(x) \eeq 0[/tex] pour [tex]e^x-\frac 9 4 \leq 0[/tex] soit [tex]x \leq ln(\frac 9 4)[/tex], d où [tex]f[/tex] croissante sur [tex][ln(\frac94);\infty[[/tex] et décroissante sur [tex]]-\infty; ln(\frac94)][/tex]

    Partie C
    1)     [tex]T_0:y=xf'(0)+f(0)=-\frac{5x}2-1.5[/tex]
    2) D'après la A.3.     [tex]f(x)=(e^x-4)(e^x-\frac12)[/tex], d'ou [tex]f(x)=0[/tex]⇔[tex]x=ln(4)[/tex] ou [tex]x=ln(\frac12)[/tex]
    3) On sait que pour     [tex]x \leq ln(\frac94)[/tex], [tex]f[/tex] est décroissante et [tex] \lim_{x \to \-infty} f(x)=2[/tex], donc pour [tex]x \leq ln(\frac94)[/tex], [tex]f(x) \leq 2[/tex].
    Pour [tex]x \geq ln(\frac94)[/tex], [tex]f[/tex] est croissante, et [tex]f(x)=2[/tex]⇔[tex]e^{2x}=\frac92e^x[/tex]⇔[tex]e^x=\frac92[/tex]⇔[tex]x=ln(\frac92)[/tex].
    Ainsi [tex]f(x) \leq 2[/tex] pour [tex]x \leq ln(\frac92)[/tex]

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