Salut tout le mond,j'espère trouver de l'aide pour résoudre cet exerice! Merci d'avance :) On considère le polynôme p(x) défini par: P(x) = (x-2)^4n + (x-1 )^2n

Bonjour,

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Rappels de cours :
[Racine d'un polynôme et divisibilité]
Soit P un polynôme réel ou complexe dont son indéterminé est x. Soit α∈ℂ
Donc P divisible par (x-α) ⇔ α est racine de P, c'est-à-dire P(α) = 0
[Identités remarquables de degré 4]
Soit (a,b)∈ℂ². En appliquant la formule du binôme ainsi que la formule de factorisation, on obtient :
(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
(a-b)⁴ = a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴
a⁴-b⁴ = (a-b)(a³+a²b+ab²+b³)
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Soit le polynôme réel P défini par P(x) = (x-2)⁴ⁿ+(x-1)²ⁿ-1, avec n∈ℕ*

1/ On rappelle que P divisible par (x-2) ⇔  P(2) = 0
P(2) = (2-2)⁴ⁿ+(2-1)²ⁿ-1 = 0⁴ⁿ+1²ⁿ-1 = 1²ⁿ-1
Or ∀n∈ℕ*, 1²ⁿ = 1
D'où P(2) = 1-1 = 0
Donc P est divisible par (x-2)

2/ On rappelle que P divisible par (x-1) ⇔  P(1) = 0
P(1) = (1-2)⁴ⁿ+(1-1)²ⁿ-1 = (-1)⁴ⁿ+0²ⁿ-1 = (-1)⁴ⁿ-1
Or ∀n∈ℕ*, (-1)⁴ⁿ = 1⁴ⁿ =1
D'où P(1) = 1-1 = 0
Donc P est divisible par (x-1)

3/ On pose n = 1
a. Alors P(x) = (x-2)⁴+(x-1)²-1
Or d'après les questions précédentes, on a également P(x) = (x-2)(x-1)(ax²+bx+c), avec (a,b,c)∈ℝ³
D'où on a :
(x-2)⁴+(x-1)²-1 = (x-2)(x-1)(ax²+bx+c)
x⁴-8x³+24x²-32x+16+x²-2x+1-1 = (x²-x-2x+2)(ax²+bx+c)
x⁴-8x³+25x²-34x+16 = (x²-3x+2)(ax²+bx+c)
x⁴-8x³+25x²-34x+16 = ax⁴+bx³+cx²-3ax³-3bx²-3cx+2ax²+2bx+2c
x⁴-8x³+25x²-34x+16 = ax⁴+(b-3a)x³+(c-3b+2a)x²+(-3c+2b)x+2c
On remarque déjà que a = 1 et c = 8 afin de vérifier l'unité des coefficients de degré 4 et 0 respectivement. On a alors :
x⁴-8x³+25x²-34x+16 = x⁴+(b-3)x³+(8-3b+2)x²+(-24+2b)x+16
x⁴-8x³+25x²-34x+16 = x⁴+(b-3)x³+(10-3b)x²+(-24+2b)x+16
Pour vérifier l'unicité des coefficients de degré 1, 2 et 3, on en déduit que b = -5
Donc on obtient P(x) = (x-2)(x-1)(x²-5x+8)

b. Dans ℝ, on pose l'équation :
P(x) = 0
(x-2)(x-1)(x²-5x+8) = 0
x-2 = 0 ou x-1 = 0 ou x²-5x+8 = 0
x = 2 ou x = 1 ou x²-5x+8 = 0
Δ = (-5)²-4*1*(8) = -7 < 0, d'où l'équation x²-5x+8 = 0 n'admet pas de solution dans ℝ.
Donc  x = 2 ou x = 1

c. On sait que le polynôme x²-5x+8 n'admet pas de racine réelle. De plus, a = 1, d'où a > 0, d'où x²-5x+8 > 0 quelque soit le réel x
D'où le signe de P dépend de (x-2)(x-1)
Dans ℝ, on pose l'inéquation suivante :
P(x) ≥ 0
(x-2)(x-1)(x²-5x+8) ≥ 0
(x-2)(x-1) ≥ 0 car ∀x∈ℝ, x²-5x+8 > 0
(x-2 ≥ 0 et x-1 ≥ 0) ou (x-2 ≤ 0 et x-1 ≤ 0)
(x ≥ 2 et x ≥ 1) ou (x ≤ 2 et x ≤ 1)
x ≥ 2 ou x ≤ 1
x∈]-∞;-1]∪[2;+∞[