coucou pouvez vous m'aider pour le 2)? c'est à rendre demain. svp

Bonjour ;

Tout d'abord on remarque que f est prolongeable par continuité .

On a : lim(x→0 ; x < 0) f(x) = lim(x→0 ; x < 0) 2x + 1 = 2 * (0) + 1 = 1 ;
et lim(x→0 ; x > 0) f(x) = lim(x→0 ; x > 0) x² + 1 = 0² + 1 = 1 ;
donc comme on a : lim(x→0 ; x < 0) f(x) = lim(x→0 ; x > 0) f(x) = 1 ;
donc on peut dire que f est prolongeable en 0 par continuité
et on prend : f(0) = 1 .

On a : lim(x→0 ; x < 0) (f(x) - f(0))/(x - 0) = lim(x→0 ; x < 0) (2x + 1 - 1)/x
= lim(x→0 ; x < 0) 2x/x = lim(x→0 ; x < 0) 2 = 2 .

On a aussi : lim(x→0 ; x > 0) (f(x) - f(1))/(x - 0)
= lim(x→0 ; x > 0) (x² + 1 - 1)/x = lim(x→0 ; x > 0) x²/x
= lim(x→0 ; x > 0) x = 0 .

Conclusion :

comme on a :
lim(x→0 ; x > 0) (f(x) - f(1))/(x - 0) ≠ lim(x→0 ; x < 0) (f(x) - f(1))/(x - 0) ,
donc f n'est pas dérivable en 0 .