Bonjour, Dans mon dm de maths, il y a une question que je n'arrive pas à faire. Nous avons une fonction : g(x)=4x^3-6x^2-78x+40, et l'on doit donner le tableau

Bonjour,

on dérive :

g'(x) = 12x² - 12x - 78 = 12(x² - x - 6,5)

Δ = (-1)² - 4x1x(-6.5) = 1 + 26 = 27 = (3√3)²

Donc 2 racines :

x₁ = (1 - 3√3)/2  (≈ -2,1)    et x₂ = (1 + 3√3)/2  (≈ 3,1)


x              -∞                  x₁                   x₂                    +∞
g'(x)                    +        0          -         0          +
g(x)            croissante     décrois.          croissante

Ensuite :

lim g(x) quand x→-∞ = lim 4x³ = -∞
lim g(x) quand x→+∞ = lim 4x³ = +∞

g(x₁) ≈ 140,3 et g(x₂) ≈ -140,3

On en déduit :
.qu'il existe un unique a ∈ ]-∞;x₁] tel que g(a) =0
.qu'il existe un unique b ∈ [x₁;x₂] tel que g(b) = 0
.qu'il existe un unique c ∈ [x₂;+∞[ tel que g(c) = 0

on trouve à la calculatrice :

a = -4
b = 0,5
c = 5

Donc on pouvait factoriser g(x) sous la forme :

g(x) = 4(x + 4)(x - 0,5)(x - 5)

Tableau de signes :

x            -∞                -4                0,5                5                  +∞
x+4                  -         0        +                  +                  +
x-0,5                -                    -        0        +                  +
x-5                   -                    -                   -        0        +
g(x)                  -         0        +        0        -        0         +