Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide s'il vous plaît pour l'exercice de maths suivant : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormée direct (0, vect
Mathématiques
Kylie05
Question
Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide s'il vous plaît pour l'exercice de maths suivant :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormée direct (0, vecteur u, vecteur v).
On donne le nombre le nombre complexe
j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}
Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
1) a) Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z² + z + 1 = 0
b)Vérifier que le nombre complexe j est solution de cette équation.
2) Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
3) Déterminer les égalités suivantes :
a) j^3 = 1
b) j² = -1-j
4) On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j² dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormée direct (0, vecteur u, vecteur v).
On donne le nombre le nombre complexe
j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}
Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
1) a) Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation : z² + z + 1 = 0
b)Vérifier que le nombre complexe j est solution de cette équation.
2) Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
3) Déterminer les égalités suivantes :
a) j^3 = 1
b) j² = -1-j
4) On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j² dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1)
a) z² + z + 1 = 0
Δ = 1 - 4 = -3 = (i√3)²
z = (-1 - i√3)/2 ou z = (-1 + i√3)/2
b) j = -1/2 + i√3/2 = (-1 + i√3)/2 donc solution de l'équation précédente
2) |j| = √[(-1/2)² + (√3/2)²] = √(1/4 + 3/4) = 1
⇒ cos(arg(j)) = -1/2 et sin(arg(j)) = √3/2
⇒ arg(j) = 2π/3
⇒ j = e^(i2π/3)
3) a) j³ = e^(i2π) = 1
b) j² = e^(i4π/3)
-1 - j = -1 + 1/2 - i√3/2 = -1/2 - i√3/2 = e^(i4π/3)
4) PQ = PR = QR PQR équilatéral
|j - 1| = etc...