Bonsoir ! je voudrais votre aide pour ce devoirs merci d'avance

Bonjour,

Partie A

1) f'(x) = (2ax + b)/(ax² + bx + c)

2) f(0) = ln(c)  f(1) = ln(a + b + c) et f'(1) = (2a + b)/(a + b + c)

f(0) = 0 ⇒ ln(c) = 0 ⇒ c = 1

f(1) = 0 ⇒ ln(a + b + 1) = 0 ⇒ a + b + 1 = 1 ⇒ a + b = 0

f'(1) = 1 ⇒ 2a + b = a + b + c ⇔ a = c ⇒ a = 1

et donc b = -a = -1

⇒ f(x) = ln(x² - x + 1)

Partie B

1) Δ = (-1)² - 4*1*1 = -3 < 0 donc pas de racine

⇒ x² - x + 1 > 0 pour tout x ∈ R

2) f'(x) = (2x - 1)/(x² - x + 1)

signe de f'(x) = signe de (2x - 1)

x            -∞                1/2              +∞
2x - 1                -         0      +
f'(x)                   -          0      +

3) lim en + et -∞ de P(x) = lim en + et -∞ (x²) = +∞

On en déduit lim f(x) en + ou -∞ = +∞

4)

x          -∞                          1/2                          +∞
f'(x)                      -              0              +
f(x)       +∞ décroissante       croissante       +∞

f(1/2) = ln(1/4 - 1/2 + 1) = ln(3/4)      ≈ -0,28

Partie C

1) (x - 1)²(x + 2)

= (x² - 2x + 1)(x + 2)

= x³ - 2x² + x + 2x² - 4x + 2

= x³ - 3x + 2

x³ - 3x + 2 = 0

⇔ (x - 1)²(x + 2) = 0

⇒ x = 1 ou x = -2

2) f(x) = g(x)

⇔ ln(x² - x + 1) = ln[3x - 1)/(x + 1)]

⇒ x² - x + 1 = (3x - 1)/(x + 1)

⇒ (x + 1)(x² - x + 1) = 3x - 1

⇔ x³ - x² + x + x² - x + 1 - 3x + 1 = 0

⇔ x³ - 3x + 2 = 0

⇒ x = 1 ou x = -2 ∉ Dg

donc Cf et Cg ont un seul point commun d'abscisse x = 1

f'(1) = 1

tangente : y = f'(1)(x - 1) + f(1)

soit y = x - 1