Bonsoir ,, qui pourrais m aider a résoudre cet exercice svp.. Merci beaucoup

Bonjour,

1)

f(-1) = -(-1)³ -3*(-1)² + 13*(-1) + 15 = 1 - 3 - 13 + 15 = 0

donc x = -1 est une racine de f(x)

2) (x + 1)(ax² + bx + c)

= ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c

= ax³ + (a + b)x² + (b + c)x + c

Par analogie avec les termes de même degré de f(x) :

a = -1
a + b = -3
b + c = 13
c = 15

soit :

a = -1
b = -3 - a = -3 + 1 = -2
c = 13 - b = 13 + 2 = 15
c = 15

donc f(x) = (x + 1)(-x² - 2x + 15)

3)a)

On recherche les racines de (-x² - 2x + 15) :

Δ = (-2)² - 4x(-1)x(15) = 4 + 60 = 64 = 8²

donc les 2 racines sont :

x = (2 - 8)/(-2) = 3

et x = (2 + 8)/(-2) = -5

⇒ -x² - 2x + 15 = -(x - 3)(x + 5)

et f(x) = -(x + 1)(x - 3)(x + 5)

b) f(x) > 0

⇔ (x + 1)(3 - x)(x + 5) > 0

x            -∞              -5                -1                3                +∞
x + 5               -        0       +                  +               +
x + 1               -                  -         0       +               +
3 - x                +                +                  +        0     -
f(x)                  +       0       -          0       +       0      -

donc f(x) > 0 ⇒ x ∈ ]-∞;-5[ ∪ ]-1;3[